Das Histogramm

Zur Darstellung der Häufigkeitsverteilung

Ein Histogramm ist ein Säulendiagramm, in dem gesammelte Daten zu Klassen zusammengefasst werden. Die Größe einer Säule entspricht dabei der Anzahl der Daten in einer Klasse. Es ist zur grafischen Darstellung der Häufigkeitsverteilung geeignet und stellt somit einen ersten Ansatz für die Datenanalyse und Problemlösung dar. Bei der Häufigkeitsverteilung wird untersucht, wo die meisten Werte liegen und welcher der Mittelwert ist. Auch soll die Größe der Streuung und die Normalverteilung ermittelt werden. Zudem bietet soll geklärt werden, ob es Ausreißer gibt. Histogramme ermöglichen schnell Aussagen über die Streuung von Prozessen, wodurch sie die Prozessbeurteilung unterstützen. Zur Erstellung eines Histogramms empfiehlt sich in der Praxis die Verwendung einer CAQ-Software, welche die Messdaten direkt z.B. zum PC überträgt und das Histogramm automatisch erzeugt. Die Software ermöglicht so eine sofortige Interpretation der Messwerte (ggf. online an der Maschine). Weiterhin prüft ein ggf. vorhandenes Statistikmodul ob Aussagen zur Verteilung gemacht werden können.

Die Vor- und Nachteile des Histogramms

Das Histogramm vermittelt einen schnellen grafischen Überblick auch über größere Datenmengen, deutlich besser zu erfassen als z.B. eine Tabelle. Mögliche „Ausreißer“ aber auch „Tippfehler“ werden schnell erfasst und können hinterfragt werden. Nachteil dieses Werkzeugs ist, dass ein ggf. vorliegender chronologischer Ablauf nicht erkennbar ist. Wenn mehrere Häufigkeitsverteilungen nebeneinander gezeigt werden (z.B. Daten von zwei Maschinen), ist darauf zu achten, dass die x- und y-Achsen gleich sind. Die Balkenbreite kann den grafischen Eindruck verzerren, indem sie zu breit (keine Differenzierung) oder zu schmal (zerklüftete Darstellung) gewählt werden.

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Potenziale vom Histogramm und der Häufigkeitsverteilung

Darstellung der relativen Häufigkeit, mit der verschiedene Werte über den Betrachtungszeitraum aufgetreten sind. Die Prozessgüte wird durch die Zentrierung, Streuung und Form der Daten sichtbar gemacht. Das Histogramm gibt durch die Datenvisualisierung einen ersten Hinweis auf die zugrunde liegende Verteilung. Die Auswertung gibt Informationen, die bei der Vorhersage des künftigen Verhaltens des Prozesses helfen. Über die Häufigkeitsverteilung bekommt man einen Eindruck über die zugrunde liegende Verteilungsform des Prozesses. Liegen Spezifikationsgrenzen vor, kann darauf aufbauend als komplexeres Werkzeug die Prozessfähigkeitsanalyse mit den statistischen Kenngrößen cp- / cpk-Wert verwendet werden. Über die Häufigkeitsverteilung können Daten geschichtet werden, dass heißt mehrere Informationen (Daten von zwei Maschinen) können in einer Grafik dargestellt werden. Als weiteres grafisches Werkzeug kann dann auch der Box-Whisker Plot eingesetzt werden. Um den Unterschied der Mittewerte zweier Maschinen statistisch zu belegen, kann als weiteres komplexes Werkzeug der t-Test verwendet werden.

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Ein Histogramm zur Darstellung der Häufigkeitsverteilung erstellen

Im Histogramm werden die Häufigkeiten von in Klassen eingeteilten Messwerten graphisch dargestellt. Das Ziel ist die Feststellung der Verteilungsform (z.B. Prüfung auf Normalverteilung) und Erkennung ggf. vorhandener Anomalien in der Verteilung. Somit wird ermöglicht, Rückschlüsse auf Fehlerursachen zu ziehen. Bei Bedarf können auch Zielwerte und Toleranzen festgelegt und abgeprüft werden. So gehen Sie bei der Erstellung eines Histogramms vor.

1. Klasseneinteilung vornehmen
Zur Klasseneinteilung ist die Datenspannweite, die Anzahl der Klassen und die Klassenbreite zu bestimmen. Die Spannweite R wird berechnet, indem vom größten Wert der kleinste Wert abgezogen wird:

Spannweite R = xmax – xmin

Nun folgt die Festlegung der Klassenzahl k, wobei die Anzahl als Faustregel der gerundeten Wurzel aus der Anzahl der Werte entspricht:

Klassenzahl k = √n

Die Klassenbreite H wird schließlich aus der Division der Spannweite R durch die Klassenanzahl k errechnet:

Klassenbreite H = R/k

Die untere Klassengrenze der niedrigsten Klasse entspricht dem niedrigsten gemessenen Wert. Die Untergrenze der nächsten Klasse wird durch Addition des niedrigsten Wertes mit der Klassenbreite festgelegt.

2. Summenhäufigkeiten berechnen
Durch Vergleich jedes einzelnen Wertes mit den ermittelten Klassengrenzen werden die Daten einer Klasse zugeordnet. Durch Abzählen kann nun eine Häufigkeitstabelle erstellt werden.

3. Diagramm zeichnen
Das Histogramm wird jetzt grafisch gestaltet, indem auf der senkrechten Achse (Y-Achse) die Häufigkeiten und auf der waagerechten Achse (X-Achse) die Merkmalsvariablen eingetragen werden. Jede Klasse der Merkmalsvariablen erhält einen Balken, dessen Höhe der Häufigkeits- oder Prozentzahl entspricht.

4. Diagramm interpretieren
Die Interpretation umfasst typischerweise folgende Fragestellungen: ‏

  • Ergibt sich eine normale glockenförmige Verteilung? ‏
  • Ist die Verteilung symmetrisch? ‎‏
  • Weist die Verteilung doppelte Spitzen auf?

Handelt es sich um einen fähigen Prozess, der geeignet ist die Qualitätsanforderungen zu erfüllen, dann ist das Histogramm im Mittelwert zentriert und liegt mit seinen Werten innerhalb der Spezifikationsgrenzen. Der Vergleich zweier oder mehrerer Situationen erfolgt mittels Datenschichtung (z.B. Zeitvergleich vorher <–> nachher). Übersichtlicher kann diese Darstellung mittels Boxplot (auch Box-Whisker-Plot) Plot erfolgen: Der Boxplot fasst die verschiedenen Maße der zentralen Tendenz, Streuung und Schiefe in einem Diagramm zusammen. Die Länge der Box gibt das Maß der Streuung wieder und der in der Box eingezeichnete Median vermittelt durch seine Lage innerhalb der Box einen Eindruck von der Schiefe der den Daten zugrunde liegenden Verteilung.

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Mögliche Ursachen für ein auffälliges Histogramm

Nach dem Erstellen der Histogramme werden die zeitlichen Verläufe interpretiert. Werden „abnormale“ Ergebnisse im Histogramm festgestellt, muss eine gründliche zeitliche Analyse stattfinden, um die Ursachen für diese Effekte ausfindig zu machen.

Histogramm mit Lücke
Es können möglicherweise Fehler beim Messen oder beim Erstellen des Histogrammes aufgetreten sein.

Histogramm mit zwei Spitzen
Eine mögliche Ursache hierfür kann in zwei Herstellungsprozessen liegen. Diese Verteilung kann z.B. nach einem Schichtwechsel zustande kommen oder wenn aufgrund von Verschleiß nach einer bestimmten Zeitspanne ein neues Werkzeug zum Einsatz kommt.

Abgeflachtes Histogramm mit abgeschnittener Veteilungsspitze
Hier wurden vermutlich Teile selektiert oder es handelt sich um keinen beherrschten Prozess.

Ein oder mehrere Ausreißer
Besondere Ursache wie sporadischer Maschinendefekt oder Messfehler.

Große Häufigkeit eines Mindest- oder Höchstwertes
Messgerät kann nicht die ganze Spannweite erfassen oder Daten wurden über eine bestimmte Grenze nicht richtig erfasst (Scheu vor Aufnahme „schlechter Daten“).

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